Orthogonalisierungsverfahren Gram Schmidt Beispiel Essay

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Einleitung

Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Verfahren

Es seien die linear unabhängigen Vektoren \( w_1, \dots, w_n \) gegeben. Mit dem Verfahren kann nun ein Orthogonalsystem von \( n \) paarweise orthogonalen Vektoren berechnet werden, das denselben Untervektorraum erzeugt. Für die einzelnen Vektoren \( v_1, \dots, v_n \) gilt:

$$ \begin{aligned} v_1 &= w_1 \\ v_2 &= w_2 - \frac{\langle v_1, w_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 \\ v_3 &= w_3 - \frac{\langle v_1, w_3\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, w_3\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2 \\ &\vdots \\ v_n &= w_n - \frac{\langle v_1, w_n\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, w_n\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2 - \dots - \frac{\langle v_{n-1}, w_n\rangle}{\langle v_{n-1}, v_{n-1}\rangle} \, v_{n-1} = w_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\langle v_i, w_n\rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i \end{aligned} $$

Beispiel

Die folgenden linear unabhängigen Vektoren \( w_1 \) und \( w_2 \) erzeugen einen Untervektorraum.

$$ w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Es werden nun zwei orthogonale Vektoren v1 und v2 berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen:

$$ \begin{aligned} v_1 &= w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ v_2 &= w_2 - \frac{\langle v_1, w_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{12}{14} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Quellen

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Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Prähilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraumerzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren dar: Statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis.

Die beiden Verfahren sind nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin-Louis Cauchy verwendet.

Für die numerische Berechnung durch einen Computer mit Gleitpunktarithmetik sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler sind die berechneten Vektoren nicht mehr orthogonal. Es existieren aber Modifikationen des Verfahrens, die diesen Fehler nicht haben. Weitere Möglichkeiten für Orthogonalisierungsverfahren basieren auf Householdertransformationen oder Givens-Rotationen.

Vorbemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden werden Elemente des betrachteten Vektorraums (Vektoren) mit einfachen lateinischen Buchstaben wie und bezeichnet, gegebenenfalls mit Indizes wie und . Es wird sowohl auf übergesetzte Pfeile als auch auf Fettdruck verzichtet. Das Skalarprodukt wird durch spitze Klammern dargestellt: . Im komplexen Fall wird dabei die Konvention verwendet, dass das Skalarprodukt im ersten Argument semilinear, im zweiten Argument linear ist, das heißt

für alle Vektoren , und alle . Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht.

Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren ein Orthogonalsystem von paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Die einzelnen Vektoren des Orthogonalsystems berechnen sich wie folgt:

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im versehen mit dem Standardskalarprodukt seien zwei linear unabhängige Vektoren vorgegeben, die einen Untervektorraum erzeugen:

Es werden nun zwei orthogonale Vektoren und berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen:

Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren ein Orthonormalsystem von normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Die einzelnen Vektoren des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird:

(Normalisieren des ersten Vektors )
(Orthogonalisieren des zweiten Vektors )
(Normalisieren des Vektors )
(Orthogonalisieren des dritten Vektors )
(Normalisieren des Vektors )
(Orthogonalisieren des -ten Vektors )
(Normalisieren des Vektors )

Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im muss z. B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im versehen mit dem Standardskalarprodukt seien zwei Basisvektoren gegeben:

Es werden nun zwei Vektoren und berechnet, die eine Orthonormalbasis des bilden.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine besondere Eigenschaft der beiden Verfahren ist, dass nach jedem Zwischenschritt die bisher berechneten Vektoren den gleichen Vektorraum erzeugen wie die Vektoren . Die Vektoren bilden also eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis der entsprechenden Untervektorräume. Anders ausgedrückt ist die Transformationsmatrix, die die Koordinaten des einen Systems im anderen ausdrückt, eine rechtsobere Dreiecksmatrix. Diese hat außerdem eine positive Determinante, daher hat die resultierende Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis die gleiche Orientierung wie die Ausgangsbasis. Fasst man die orthonormalen Vektoren

Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren

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